Monday, December 12, 2016

Angular separation between sun and half moon / Winkelabstand zwischen Sonne und Halbmond

I have been trying to measure the angular distance between the sun and half moon for quite some time and it has been a plan of mine for at least three years. A couple months ago, I again attempted to do so using my Wild T0 theodolite. While I have learnt to operate this instrument quite quickly, I came up against a difficulty that our ancestors had, too. It is the determination of the exact half moon time.


Let’s do some simple maths to see the problem (see sketch for better understanding:

The moon needs roughly 28 days to orbit earth. So, 360° equals 28 days. Or, in other words, the moon travels among the stars from west to east with a speed of 0.54° per hour (this can be easily seen when the moon crosses in front of a star or when you track the darkening of the moon at a lunar eclipse – or way more simple: compare tomorrow’s position of the moon between the stars to today’s).

So, my goal is to determine the sun’s distance to ±10%. Now, I cheat! Of course, I already do know the sun’s distance. It is some 150.000.000 kilometers. And furthermore, I also know the moon’s distance which is some 400.000 kilometers. Using the cosine function, the angle between half moon and sun is 89.847° - so, it is really close to 90°.

150.000.000 kilometers ±10% translates to 89.83°...89.86°, so the permissible angular mismeasurement is +0.78 arcmin and -1.02 arcmin, or roughly 1/30 of the moon’s apparent diameter. I should be able to easily resolve that with my theodolite.

But here is the problem: Due to the moon’s movement over the sky, it only needs 3min 20s to span the distance at which my measurements (given that no further inaccuracies occur) are correct within my self-imposed limits.

Within these 200 seconds, everything has to come together: Moon and sun have to be above the horizon, indeed, they should not be anywhere close to it due to atmospheric refraction. Furthermore, I will have to orient the theodolite to the moon, find it’s exact center, get the value (which kind of is a pain in the back), then apply a solar filter and orient to the sun, find the sun’s exact center and then get another value. Adjusting the theodlite to moving objects in the sky is tedious, so I will have to put it onto a mount first.

It is not impossible, though. I did some measurements in summer and I am quite satisfied with the results. I was off by 0.6° which fits quite well to the one hour time span between half-moon and my measurements. Still, the result for the sun’s distance would be off enormously.

So, is there a chance for me next year? There are 24 half-moons in 2017. Exactly half of them happen at a time when the sun is far enough above the horizon. Sounds good, eh? Well, the moon also should be above the horizon. And this is only the case on four days: March 5th, June 1st, July 30th and November 26th.

Given the central European weather patterns, I assume that only one day will be suffi-ciently clear but one never knows. The good message is: Three of the four days are Sundays, so I would not have to work. There is hope

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Ich habe nun schon eine ganze Weile versucht, den Winkelabstand zwischen Sonne und Halbmond zu messen und es ist schon seit mindestens drei Jahren einer meiner Pläne. Vor ein paar Monaten habe ich es mit meinem Wild T0 Bussolentheodolit versucht. Während ich die Bedienung dieses Instrumentes recht schnell erlernt habe, stieß ich auf ein Problem, welches schon unsere Urahnen hatten. Es ist die exakte Bestimmung des Zeitpunktes des Halbmondes.

Etwas einfache Mathematik soll helfen, das Problem zu verstehen (man beachte die Zeichnung zum besseren Verständnis):

Der Mond benötigt etwa 28 Tage, um die Erde zu umlaufen. 360° entsprechen also 28 Tagen. In anderen Worten: Der Mond wandert von West nach Ost durch die Sternbilder mit einer Geschwindigkeit von 0,54° pro Stunde (das kann man einfach sehen, wenn der Mond einen Stern bedeckt oder wenn man die Verdunkelung des Mondes bei einer Mondfinsternis verfolgt – oder noch viel einfacher: man vergleiche die morgige Position des Mondes zwischen der Sternen mit der heutigen).

Mein Ziel ist, die Entfernung der Sonne mit einer Genauigkeit von ±10% zu bestimmen. Nun schummele ich! Natürlich kenne ich die Entfernung zur Sonne schon. Sie beträgt etwa 150.000.000 Kilometer. Und weiterhin kenne ich natürlich auch die Mondentfernung, welche etwa 400.000 Kilometer beträgt. Mit Hilfe der Cosinusfunktion ergibt sich ein Winkel zwischen Sonne und Halbmond von 89.847° - es ist also wirklich nahe an 90°.

150.000.000 Kilometer ±10% übersetzt sich zu 89.83°...89.86°, die gestattete Fehlmessung des Winkels ist also +0.78 arcmin und -1.02 arcmin, oder rund 1/30 des scheinbaren Monddurchmessers. Ich sollte mit meinem Theodoliten sehr gut in der Lage sein, das auszulösen.

Aber hier ist das Problem: Aufgrund der Mondbewegung über den Himmel benötigt dieser nur 3min 20s um den Abstand zu durchschreiten bei welchem meine Messungen mit den selbstgesetzten Limiten stimmen (vorausgesetzt, daß nicht noch weitere Ungenauigkeiten auftreten).

In diesen 200 Sekunden muss alles passen: Mond und Sonne müssen über dem Horizont stehen, um genau zu sein sollten sie wegen der atmosphärischen Refraktion sogar nicht mal in seiner Nähe sein. Weiterhin muß ich den Theodoliten auf den Mond zielen, sein genaues Zentrum finden, den Messwert bestimmen (das ist sehr mühsam), dann einen Sonnenfilter aufsetzen, die Sonne anvisieren und ihre genaue Mitte finden und dann einen weiteren Messwert bestimmen. Den Theodoliten auf sich bewegende Objekte am Himmel auszurichten ist schwierig, daher werde ich ihn zuerst auf eine Montierung setzen müssen.
Aber es ist nicht unmöglich. Ich habe ei paar Messungen im Sommer durchgeführt und bin mit den Resultaten recht zufrieden. Ich lag um 0,6° daneben, was sich sehr gut mit der einstündigen Zeitspanne zwischen Halbmond und meiner Messung verträgt. Das Ergebnis für die Sonnenentfernung wäre jedoch sehr weit daneben.

Gibt es also eine Chance für mich im nächsten Jahr? Es gibt 24 Halbmonde 2017. Genau die Hälfte davon finden zu einer Zeit statt, wenn die Sonne ausreichend hoch über dem Horizont steht. Klingt gut, was? Nun, der Mond sollte sich auch über dem Horizont befinden. Und das ist nur an vier Tagen der Fall: 5. März, 1. Juni, 30. Juli und 26. November.

Berücksichtigt man die mitteleuropäischen Wetterverhältnisse, nehme ich an, daß es nur an einem Tag ausreichend klar sein wird, aber man weiß ja nie. Die gute Botschaft ist: Drei dieser vier Tage sind Sonntage, also muß ich nicht arbeiten. Es besteht Hoffnung!

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